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Como somar Percentagens?

20 Jun

Há 3 situações comuns em que se somam percentagens. A saber:

  1. Este ano obtive uma Rentabilidade de 3%, tal como no ano anterior. Se comecei com 1.000 Euros, quanto dinheiro tenho ao fim dos 2 anos.
  2. Tenho uma aplicação a 30 anos em que investi 78.000 Euros ontem e que me garante 150.000 Euros. Qual é a taxa de Rentabilidade Anual?
  3. Devido a um surto grave, desde que fui admitido no Hospital, tenho uma probabilidade diária de apanhar uma Infecção de 3%.
    Qual é a probabilidade ao fim de 1 dia, 2 dias, 3 dias, 15 dias, 50 dias e 1 ano (365 dias)?

Vou agora detalhar como resolver estas situações…

——- / / ——-

Situação 1 – Terá 1000 Eur * 1,03 * 1,03 = 1000 Eur * 1,0609 = 1060,9 Eur

O coeficiente a aplicar para 3%+3% é então 1,0609.
Ou seja, (1+0,03) * (1+0,03) = 1*1 + 1*0,03 + 0,3*1 + 0,03*0,03 = 1+0,03+0,03+0,0009.
Na calculadora 1,03^2 = 1,0609

E qual é o coeficiente para 5% + 5%? Resposta: 1,1025.
Ou seja, (1+0,05) * (1+0,05) = 1*1 + 1*0,05 + 0,5*1 + 0,05*0,05 = 1+0,05+0,05+0,0025.
Na calculadora 1,05^2 = 1,1025.

Vamos agora imaginar o cálculo com uma série grande de valores (digamos 20 ou 30 anos)…

E se fosse 3% durante 20 anos?
Podíamos fazer 1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03
Mas basta fazer 1,03^20 para obter 1,806111234669…

Dúvida: Como fazer o chapéu (^) na calculadora? Fácil: qualquer calculadora científica tem o botão yx.
Basta carregar 1,03 yx 20

Depois basta pagar no valor original e multiplicar por este coeficiente.

——- / / ——-

Situação 2 – Vamos calcular a resposta em 2 passos fáceis:

1 – Calcular a rentabilidade dos 30 anos (150.000-78.000)/78.000 = 72.000/78.000 = 72/78 = 12/13 = 92,3%
2 – Anualizar (1+0,923)^(1/30) – 1 = 0,02203685 ou 2,2%.

Ok, talvez eu deva explicar.

No passo 1, eu pego na variação (72.000) e divido pelo valor original (78.000) para obter a variação total.

No passo 2, eu tenho o resultado dado pela fórmula do problema anterior, mas falta-me a taxa.
Ou seja, (1+taxa)^30 = 1,923. No caso anterior davam-me a taxa, aqui deram-me o valor final.
Assim, vou ter de ^(1/30) nos 2 lados para simplificar: (1+taxa) = 1,923^(1/30)
E depois trocar de lado o 1: taxa = 1,923^(1/30) – 1

Como calcular numa máquina?  1,923 x√y 30 e depois subtrair 1 e multiplicar por 100 para dar em %.
Se a máquina não tiver o botão x√y basta fazer 1,923 yx (1/30) e depois subtrair 1 e multiplicar por 100.

Claro que se as entregas forem periódicas a fórmula teria de ser mais complexa
-(1+taxa)^(anos+1) + ((valor final/cada entrega)+1)*(1+taxa) – (valor final/cada entrega)=0
Se X = (1+taxa), achava-se o zero a seguir a 1, subtraía-se o 1 e multiplicava-se por 100.
Se as entregas alem de periódicas fossem crescentes… … … divirtam-se.

——- / / ——-

Situação 3 – Obviamente, a probabilidade nunca será de 100% ou acima. Ora vejam:

1 dia: Obviamente 3%.
2 dias. 6% – 0,09% = 5,91% (sem fórmulas, só usando os dados de cima, pois a situação apenas inverteu)
3 dias: (1-0,03)^3 = 0,912673. Logo a resposta é 8,7327%.
15 dias: (0,97)^15 = 0,633251. Colocando -1 vê-se logo que a resposta é 36,6749%.
50 dias: 0,97^50 = 0,218065. Logo a probabilidade é 78,1935% (sim, não é superior a 100%…)
365 dias ou 1 ano: 0,97^365 = 0,000015. Logo a probabilidade é de 99,9985%.

Ou seja, a resposta tem de ser dada pelo complementar (se quiserem evitar equações complexas).

——- / / ——-

À 1ª vista pode não ser óbvio (e podem sempre ver estes exemplos mais básicos), mas se pensarem um pouco creio que compreenderão a lógica.
No fundo, é um pouco como a imagem ao lado, que pode ser ou um rosto feminino, ou um músico de lado: pode ser fácil de ver ou exigir mais concentração.
Espero que tenha sido suficientemente explícito e, sobretudo, útil.
E já agora, bons investimentos.

 
2 Comentários

Publicado por em 20 de Junho de 2012 em Matemática

 

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2 responses to “Como somar Percentagens?

  1. rui pinto

    8 de Fevereiro de 2013 at 15:05

    na avaliação (em %) de desempenho de uma máquina com vários items, neste caso 5, como é que faço a média percentual

     
  2. Ricardo Campelo de Magalhães

    9 de Fevereiro de 2013 at 10:48

    Caro Rui,

    Matematicamente, deveríamos dividir em Quintis. Ou seja:
    [0%-20%[, [20%-40%[, [40%-60%[, [60%-80%[, [80%-100%] para 1, 2, 3, 4, 5.

    Mas tradicionalmente, o que se faz nas escolas é:
    [0%-30%[, [30%-50%[, [50%-70%[, [70%-90%[, [90%-100%] para 1, 2, 3, 4, 5.
    Parece desequilibrado a favor da nota mais baixa, mas basta depois facilitar na correcção do teste e logo a maioria dos alunos fica com 3 ou 4.

    No caso concreto da avaliação da máquina, a avaliação deve ser feita de 0 a 5 e depois esse valor deve ser multiplicado por 20%.
    Ou seja, uma avaliação de 2,7 dará 54%, uma de 4,9 dará 98% e uma de 0,25 dará 5%.

    Se não ficar esclarecido poderá detalhar mais a sua pergunta e eu darei também uma resposta mais específica.

     

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